MATERI KALKULUS 1: NILAI MUTLAK BILANGAN REAL

Dalam mempelajari konsep nilai mutlak bilangan real ini, pembaca diharapkan telah mengetahui konsep bilangan real. Jika belum, silakan klik di link berikut ini.

Salah satu definisi yang banyak digunakan pada bilangan real adalah nilai mutlak. Sebagai contoh, di kehidupan sehari-hari kita mengenal konsep selisih dua bilangan, yaitu nilai mutlak dari suatu bilangan dikurangi bilangan yang lain. Seperti kita ketahui bahwa pengurangan dua buah bilangan real dapat menghasilkan bilangan positif atau bilangan negatif atau nol. Tetapi dalam konsep selisih dua bilangan real yang kita kenal merupakan bilangan nonnegatif.

Lebih lanjut, diberikan definisi nilai mutlak dalam bahasa matematika berikut. Nilai mutlak dari bilangan real $x$ , dinotasikan dengan $|a|$ , didefinisikan sebagai

$\begin{equation*} |x|=\begin{cases} x, & x\geq 0 \\ -x, & x<0. \end{cases} \end{equation*}$

Definisi tersebut dapat pula dinyatakan sebagai

$\begin{equation*} |x|=\sqrt{x^{2}}. \end{equation*}$

eberapa sifat dasar dari nilai mutlak bilangan real diantaranya:

$|x|\geq 0$
$|x|=0$ jika dan hanya jika $x=0$
$|xy|=|x||y|$
$\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$ , asalkan $y\neq 0$

Salah satu sifat penting pada nilai mutlak yang banyak digunakan dalam konsep matematika maupun penerapannya adalah sifat ketidaksamaan segitiga berikut.

Untuk bilangan real $x,y$ berlaku

$\begin{eqnarray*} \left||x|-|y|\right|\leq |x+y|\leq |x|+|y| \\ \vspace{1cm} \left||x|-|y|\right|\leq |x-y|\leq |x|+|y| \end{eqnarray*}$

Lebih lanjut, dalam kaitannya dengan sebarang bilangan real diperoleh sifat berikut ini.

Jika $a\geq 0$ , maka

$\begin{eqnarray*} |x|=a&\text{ jika dan hanya jika }&x=a \text{ atau } x=-a \\ |x|\leq a&\text{ jika dan hanya jika }& -a\leq x \leq a \\ |x|< a&\text{ jika dan hanya jika }& -a<x <a \\ |x|\geq 0&\text{ jika dan hanya jika }& x\leq -a \text{ atau }x\geq a \\ |x|> 0&\text{ jika dan hanya jika }& x>-a \text{ atau }x> a \end{eqnarray*}$