MATERI KALKULUS 1

Senin, 01 Juni 2020

LIMIT FUNGSI

Pengertian Limit

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

Sifat Limit Fungsi

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}k=k\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}x=c\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}kf(x)=k\lim_{x\rightarrow c}f(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)+ \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x)- \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}{f(x)\times g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}f(x) \times \lim_{x\rightarrow c}g(x)\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow c}{}f(x)}{\lim_{x\rightarrow c}g(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}g(x) \neq 0 \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}[f(x)]^n=[\lim_{x\rightarrow c}f(x)]^n \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow c}\sqrt[n]{f(x)}= \sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow c}f(x)} \hspace{0.1cm} dengan \lim_{x\rightarrow c}f(x) \geq 0 \end{align*}$

contoh soal.....

1.metode subtitusi

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{2}x+4 &=\frac{1}{2} \times 2+4\\ &=1 + 4\\ &=5 \end{align*}$

2. metode pemfaktoran

jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

$\infty,\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty,\infty-\infty, 0^{0},\infty^0, atau \infty^\infty$

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian bisa disubstitusikan.

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-9}{x-3}&=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\ &=\lim_{x\rightarrow 2}(x+3)\\ &=2+3\\ &=5 \end{align*}$

Limit Tak Hingga

Untuk menyelesaikan limit tak hingga dari suatu fungsi aljabar, terdapat dua cara yang umum digunakan, yaitu:

contoh soal.....

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{4x^3-3x^2+2x-1}{5x^3+14x^x-7x+2}=\frac{4}{5} \end{align*}$

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^3+2x}{x^2+1}=\infty \end{align*}$

Contoh Soal:

$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+2x}=\frac{1-2}{2\sqrt{1}}=-\frac{1}{2} \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{2x^2-x+5}-\sqrt{4x^3-1}=-\infty \end{align*}$

GRAFIK FUNGSI

Melukis suatu persamaan pada koordinat Cartesius sama dengan memplot semua titik yang memenuhi persamaan tersebut. Misalkan kita akan melukis persamaan y = x + 1 pada koordinat Cartesius. Titik apa saja yang dilalui oleh persamaan tersebut? Tentunya banyak sekali. Berikut ini hasil plot dari beberapa titik yang memenuhi persamaan y = x + 1.

Dari kiri ke kanan, titik-titik yang kita plot semakin banyak. Apa yang dapat kalian peroleh dari gambar di atas? Bagaimana kalau titik-titik yang kita plot ditambah lagi? Bagaimana kalau semua titik yang memenuhi y = x + 1 diplot? Ya, apabila semua titik-titik yang memenuhi persamaan y = x + 1 kita plot, akan membentuk garis lurus.

Grafik dari fungsi linear, y = ax + b atau px + qy + r = 0 berbentuk garis lurus.

Karena grafik dari fungsi linear berbentuk garis lurus, selanjutnya fungsi linear kita sebut sebagai persamaan garis lurus. Contoh-contoh dari persamaan garis lurus lainnya adalah y = x – 6, y = 3x – 7, 2x + 4y – 1 = 0, dan 3x – 8y + 8 = 0. Karena kita telah mengetahui bentuk dari grafiknya, kita tidak perlu untuk memplot banyak titik untuk menggambar grafiknya. Kita hanya perlu memplot 2 titik saja. Mengapa demikian? Karena dengan 2 titik berbeda, kita dapat melukis garis lurus yang melalui titik-titik tersebut.

Misalkan kita akan melukis grafik dari 2x + 3y + 9 = 0. Kita tentukan 2 titik yang memenuhi persamaan tersebut. Apabila kita pilih x = 0, kita mendapatkan y = –3. Bagaimana jika kita memilih x = –3? Ya, kita mendapat y = –1. Sehingga persamaan garis tersebut melalui titik-titik (0, –3) dan (–3, –1). Berikut ini grafik dari persamaan 2x + 3y + 9 = 0.

Grafik pada gambar di atas memotong sumbu-x dan sumbu-y. Di titik manakah tepatnya grafik tersebut memotong kedua sumbu tersebut? Suatu grafik memotong sumbu-x ketika y = 0 dan memotong sumbu-y ketika x = 0. Setelah y = o kita substitusi ke persamaan 2x + 3y + 9 = 0, kita mendpatakan x = –4,5. Sehingga grafik di atas memotong sumbu-x di titik (–4,0) dan memotong sumbu-y di titik (0, –3), seperti yang diperlihatkan oleh gambar di atas.

Berikut ini grafik dari persamaan-persamaan x = –3, y = –3, y = 2x – 3, dan x – 2y + 3 = 0.

Yang perlu diketahui, untuk c adalah sembarang konstanta, grafik persamaan x = c merupakan garis lurus yang sejajar dengan sumbu-y (garis vertikal) dan memotong sumbu x di titik (c, 0). Sedangkan grafik persamaan y = c merupakan garis lurus yang sejajar dengan sumbu-x (garis horizontal) dan memotong sumbu-y di titik (0, c). Semoga bermanfaat, yos3prens.

PERTIDAK SAMAAN NILAI MUTLAK

Pengertian

Pertidaksamaan ialah kalimat terbuka yang mneggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan mengandung variakel. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan digambarkan dengan noktah kosong( ).

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandungnilai mutlak. Nilai mutlak menghitung jarak suatu angka dari 0—misal, x. mengukur jarak x dari nol.

Persamaan nilai mutlak merupakan sebuah persamaan yang selalu bernilai positif.Pertidaksamaan nilai mutlak ialah sebuah perbandingan ukuran dua objek atau lebih yang selalu bernilai positif.

Rumus Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x ialah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. Dan digambarkan dengan │x│. Secara formal nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut :

Pengantar Nilai Mutlak

Fungsi nilai mutlak merupakan fungsi yang kontinu. Jika kita gambarkan dalam bentuk grafik, gambar grafik fungsi nilai mutlak membentuk garis lurus, seperti membentuk huruf v pada interval tertentu.

Grafik yang dihasilkan memiliki satu buah titik puncak dan garisnya simetris, antara ruas kanan dan kiri.

Perhatikan gambar grafik nilai mutlak yang diberikan seperti gambar di bawah ini.

Dan seperti yang terlihat pada kasusu di atas bahwa nilai fungsi nilai mutlak selalu positif (di atas sumbu x).

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Untuk mengambil nilai mutlak dari persamaan nilai mutlak cukup mudah. Dengan mengikuti 2 aturan penting seperti yang telah dibahas sebelumnya sudah dapat menentukan nilai mutlaknya. Jadi, nilainya akan positif jika fungsi di dalam tanda mutlak lebih dari nol. Dan akan bernilai negatif kalau fungsi di dalam tanda mutlak kurang dari nol.

Dalam pertidaksamaan nilai mutlak tidak cukup dengan cara tersebut. Ada beberapa pertidaksamaan aljabar yang ekuivalen dengan pertidaksamaan nilai mutlak. Ataupun dapat disebut saja sebagai sifat pertidaksamaan nilai mutlak.

Sifat inilah yang dapat dipakai untuk menentukan himpunan penyelesaian pada soal-soal pertidaksamaan nilai mutlak yang diberikan.

Sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut :

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, selain perlu mengetahui sifa-sifat yang telah diberikan di atas, kita juga perlu kemampuan untuk menguasai cara oprasi bentuk aljabar. Cara dasar dalam mengoperasikan suatu bilangan dan variabel.

Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Contoh Soal 1

Tentukan interval pada penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :

jawab:

SISTEM BILANGAN REAL

Sistem bilangan real merupakan materi yang sangat penting dalam mempelajari kalkulus dan aplikasinya. Oleh itu, sebelum mempelajari materi-materi lain dalam kalkulus dan aplikasinya, pembaca diharapkan telah memahami dan dapat menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada sistem bilangan real.

SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG :

Hukum komutatif : x + y = y + x dan xy = yx
Hukum asosiatif : x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z
Hukum distributif : x(y + z) = xy + xz
Unsur identitas : Terdapat dua bilangan real yang berlainan, 0 dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 = x
Invers : Setiap bilangan x mempunyai invers penambahan (juga disebut negatif), -x, yang memenuhi x + (-x) = 0. Setiap bilangan x, kecuali 0 juga mempunyai invers perkalian (disebut juga kebalikan), x^-1, yang memenuhi x . x^-1 = 1

SIFAT-SIFAT URUTAN

Trikotomi : Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku : x < y atau x = y atau x > y.
Kentransitifan : x < y dan y < z → x < z
Penambahan : x < y ↔ x + z < y + z
Perkalian : Apabila z positif, x < y ↔ xz < yz. Apabila z negatif x < y ↔ xz > yz

Relasi urutan ≤ (dibaca “kurang dari atau sama dengan”) adalah sepupu pertama dari <. Relasi ini didefinisikan sebagai :

x ≤ y ↔ y – x positif atau nol

NILAI MUTLAK BILANGAN REAL

Dalam mempelajari konsep nilai mutlak bilangan real ini, pembaca diharapkan telah mengetahui konsep bilangan real. Jika belum, silakan klik di link berikut ini.

Salah satu definisi yang banyak digunakan pada bilangan real adalah nilai mutlak. Sebagai contoh, di kehidupan sehari-hari kita mengenal konsep selisih dua bilangan, yaitu nilai mutlak dari suatu bilangan dikurangi bilangan yang lain. Seperti kita ketahui bahwa pengurangan dua buah bilangan real dapat menghasilkan bilangan positif atau bilangan negatif atau nol. Tetapi dalam konsep selisih dua bilangan real yang kita kenal merupakan bilangan nonnegatif.

Lebih lanjut, diberikan definisi nilai mutlak dalam bahasa matematika berikut. Nilai mutlak dari bilangan real $x$ , dinotasikan dengan $|a|$ , didefinisikan sebagai

$\begin{equation*} |x|=\begin{cases} x, & x\geq 0 \\ -x, & x<0. \end{cases} \end{equation*}$

Definisi tersebut dapat pula dinyatakan sebagai

$\begin{equation*} |x|=\sqrt{x^{2}}. \end{equation*}$

eberapa sifat dasar dari nilai mutlak bilangan real diantaranya:

$|x|\geq 0$
$|x|=0$ jika dan hanya jika $x=0$
$|xy|=|x||y|$
$\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$ , asalkan $y\neq 0$

Salah satu sifat penting pada nilai mutlak yang banyak digunakan dalam konsep matematika maupun penerapannya adalah sifat ketidaksamaan segitiga berikut.

Untuk bilangan real $x,y$ berlaku

$\begin{eqnarray*} \left||x|-|y|\right|\leq |x+y|\leq |x|+|y| \\ \vspace{1cm} \left||x|-|y|\right|\leq |x-y|\leq |x|+|y| \end{eqnarray*}$

Lebih lanjut, dalam kaitannya dengan sebarang bilangan real diperoleh sifat berikut ini.

Jika $a\geq 0$ , maka

$\begin{eqnarray*} |x|=a&\text{ jika dan hanya jika }&x=a \text{ atau } x=-a \\ |x|\leq a&\text{ jika dan hanya jika }& -a\leq x \leq a \\ |x|< a&\text{ jika dan hanya jika }& -a<x <a \\ |x|\geq 0&\text{ jika dan hanya jika }& x\leq -a \text{ atau }x\geq a \\ |x|> 0&\text{ jika dan hanya jika }& x>-a \text{ atau }x> a \end{eqnarray*}$

Lebih baik, untuk setiap bilangan real $x$ dan $y$

$\begin{equation*} |x|\leq |y| \text{ jika dan hanya jika }x^{2}\leq y^{2}. \end{equation*}$